Problema 7.5.2

Se con r indichiamo la distanza dal centro della Terra, si ha (vedi 7.5 Satelliti artificiali):

4π²r/T²=GM_T/r² da cui r³=GM_TT²/4π²

r³=6,67^.10^-11.6^.10^24.8,64^2.10⁸/4^.3,14²

r=42.000Km, quindi, essendo il raggio della Terra R=6400Km, l’altezza dal suolo a cui si trovano i satelliti geostazionari è h=r-R=35.600Km.

A questa altezza l’attrito è trascurabile e il satellite potrà essere utilizzato per molto tempo.

La superficie irradiata si estende fra le latitudini ±81° e rappresenta il 42% della superficie della Terra.

Dovendo porre il satellite in un punto al di sopra dell’equatore conviene lanciare il satellite dall’equatore stesso. La velocità di rotazione all’equatore è v=0,46Km/s. Per raggiungere l’orbita voluta il satellite deve acquistare l’energia E=Ec+ΔU.

Il problema presenta molte analogie con quello risolto nel Cap.3 (3.2 Problemi di Roberto al Luna Park: 4) Il cerchio della morte).

U_r=-GmM_T/r

U_r/m=-6,7^.10^-11.6^.10²⁴/4,2^.10⁷=-40^.10¹³ /4,2^.10⁷= -9,52^.10⁶J/Kg

U_R= -GmM_T/R_T

U_R /m=-6,67^.10^-11.6^.10²⁴/6,4^.10⁶=-6,25^.10⁷J/Kg

ΔU/m=U_r/m-U_R/m=(6,25-0,95)10⁷=5,3^.10⁷J/Kg

E_c=mv²/2

E_c/m=v²/2   E_c/m=1/2 (2πr)²/T²=2π²r²/T²

E_c/m=2 ^. 3,14^{2 .} 4,2^{2 .} 10¹⁴ / 8,6^{2 .} 10⁸=4,7^.10⁶J/Kg

L’energia totale che occorre fornire per Kg è E/m=ΔU/m+E_c/m   E/m=0,47^.10⁷+5,3^.10⁷=5,8^.10⁷J/Kg

Poiché all’equatore l’energia cinetica posseduta per unità di massa, a causa della rotazione della Terra, è Ec/m=0,46^2.10⁶/2=1,06^.10⁵J/Kg ed è la massima, il lancio dall’equatore permette un risparmio. Logicamente il lancio deve avvenire verso Est e, per ovvi motivi di sicurezza, in direzione di luoghi non abitati.

Non si è tenuto conto della perdita di energia dovuta all’attrito dell’atmosfera.