Problema 7.4.1

Nell’ipotesi che l’influenza di tutti gli altri corpi celesti sia trascurabile, in ogni punto dello spazio il campo gravitazionale è dato dalla sovrapposizione del campo gravitazionale terrestre e del campo gravitazionale lunare. Perché l’intensità del campo I sia nulla in un punto, occorre che in quel punto I=I_T+I_L=0. Trattandosi di due vettori devono avere la stessa intensità e direzione, ma verso opposto.

I punti si trovano quindi sulla congiungente Terra-Luna.

Sapendo che d=3,84^.10⁸m, indichiamo con x la distanza del punto considerato dalla Terra e con (d-x) la sua distanza dalla Luna.

Perché il campo sia nullo occorre che:

GM_T/x²=GM_L/(d-x)²

Ricordando che M_L=M_T/80 si ha

1/x²=1/80(d-x)² da cui 79x² – 160dx + 80d² = 0

Risolvendo questa equazione di secondo grado otteniamo due possibili soluzioni, x=4,32^.10⁸m e x=3,45^.10⁸m. La seconda soluzione è quella che ci interessa, perché non basta che I_T sia uguale a I_L, ma occorre anche che i due vettori abbiano verso opposto e questo accade solo se il punto è interno alla congiungente i due centri.

Mentre la Luna ruota intorno alla Terra questo punto descrive una circonferenza di raggio r=3,45^.10⁸m. Quando si supera questa linea si passa dalla prevalenza del campo gravitazionale terrestre alla prevalenza del campo gravitazionale lunare.

Osservazione

Quando nel Cap.6 abbiamo considerato dei casi di “assenza di gravità” non abbiamo mai inteso che il campo gravitazionale fosse nullo. Quando in un ascensore in caduta libera la bilancia non registra il peso del passeggero non vuol dire che il passeggero non è soggetto alla gravità terrestre, ma che “cadono insieme”, perché l’accelerazione gravitazionale è indipendente dalla massa. E per lo stesso motivo gli oggetti “galleggiano” in un’astronave.