Problema 7.2.3
Supponiamo di costruire un tunnel che colleghi il polo Nord al polo Sud terrestri (vedi fig.7.2) e di lasciare cadere un sasso di massa m all’imboccatura del tunnel al polo Nord. Di quale moto si muoverà il sasso, se la sua velocità iniziale è v0=0?
Supponiamo per semplicità che la Terra sia sferica e omogenea e la sua densità sia ρ.
Man mano che si scende in profondità diminuisce la distanza dal centro, ma diminuisce anche la massa sottostante, che è l’unica responsabile dell’attrazione terrestre.
F=GmM/r2
M=4πρr3/3
F=Gm4πρr3/3=4πρGmr/3
L’accelerazione di gravità g all’interno della Terra, nell’ipotesi suddette, è data da g=4πρGr/3, quindi è nulla al centro della Terra e cresce proporzionalmente ad r fino alla superficie della Terra.
La forza agente sul sasso che cade è quindi F=-4πρGmr/3, dove il segno meno indica che F e r hanno la stessa direzione, ma verso opposto.
Applicando il secondo principio della Dinamica si ottiene a=-4πρGr/3.
L’accelerazione è proporzionale allo spostamento, ma di verso opposto e questa è una caratteristica dei moti armonici semplici.
Ricordando che in un moto armonico semplice a=-4π2s/T2, si può calcolare il periodo del moto armonico.
4π2/T2=4πρG/3 da cui 3π=GρT2
T=𕔇π/ρG
Si tratta quindi di moto armonico semplice di periodo T.
Questo risultato è puramente teorico, perché in realtà la densità della Terra non è costante ed il problema si presenta molto più complesso. A parte poi la difficoltà di poter fare un foro dal polo Nord al polo Sud!