Problema 7.1.7
Nel 1978 gli astronauti scoprirono che il pianeta Plutone ha un satellite, chiamato Caronte, che eclissa il pianeta ogni 6,4 giorni.
Se la distanza osservata fra il centro di Plutone e il centro di Caronte è d≈20.000Km, trovare la massa di Plutone.
Applichiamo la relazione trovata nel Problema 7.1.1, nell’ipotesi che la traiettoria di Caronte sia circolare.
Tc2/d3=KP dove KP=4π2/MPG.
d=2.107m
T=6,4.86.400=5,53.105s
Mp=4π2d3/GTc2 Mp=1,5.1022Kg
Il risultato è valido se, anche in questo caso, il centro di massa del sistema coincide, in buona approssimazione, con il centro di Plutone(vedi Problemi 4.4.1 e 7.1.6).
Non si sa ancora molto di Plutone e Caronte, ma alcuni testi danno i seguenti, rispettivi diametri:
dP=2300Km e dC=1220Km. Viste le dimensioni abbastanza confrontabili potremmo allora considerarli come un pianeta doppio.
Se facciamo l’ipotesi, un po’ azzardata, che abbiano la stessa densità ρ , possiamo così calcolare il centro di massa:
xCM=[4πρ(xPrP3+xCrC3)/3] / [4πρ(rP3+rC3)/3]=(xPrP3+xCrC3)/(rP3+rC3)
Se assumiamo xP=0, xC=20.000Km si ottiene:
xCM=drC3/(rP3+rC3) xCM=2500Km
quindi circa 1350Km fuori da Plutone, verso Caronte. Quella che abbiamo calcolato potrebbe essere la massa relativa al CM, quindi la massa totale del sistema (Plutone+Caronte). Si tratta in ogni caso del più piccolo pianeta del sistema solare.