Problema 6.1.2
Al centro di un vagone è montata un’asta alta h=3,0m e su questa è vincolata una pallina di massa m. Il vagone si muove con accelerazione costante a=10m/s2 su un binario rettilineo.
Nell’istante in cui il vagone ha raggiunto la velocità v0=20m/s la pallina viene lasciata cadere sul pavimento. Descrivere il moto della pallina.
a) dal punto di vista di un osservatore esterno a terra;
b) dal punto di vista di un osservatore che si trova sul vagone.
a) Osservazione dell’osservatore a terra (sistema inerziale)
La pallina, quando viene sganciata, ha la velocità v0, è soggetta alla forza di gravità e descriverà quindi una traiettoria parabolica fino a toccare il pavimento del vagone.
Se consideriamo come x=0 la posizione del piede dell’asta nell’istante t=0 in cui la pallina viene sganciata, possiamo calcolare la gittata, sapendo il tempo impiegato dalla pallina a cadere.
h=gt2/2, da cui t=0,8s
xp=v0t xp=16,0m
Nello stesso tempo l’asta, che solidale al vagone si muove di moto uniformemente accelerato, ha percorso la distanza xv=v0t+at2/2 xv=19,2m.
La pallina tocca il pavimento in arretrato di 3,2m rispetto all’asta. Le due traiettorie sono indicate in figura.
Quella della pallina è stata costruita per punti, ma si può ricavare anche direttamente dall’equazione della traiettoria:
y=h-gt2/2
x=v0t, da cui t=x/v0
y=h-gx2/2v02 (equazione della traiettoria)
b)Osservazione dall’osservatore sul vagone
La pallina colpisce il pavimento a sinistra dell’asta e ad una distanza di 3,2m da questa.
L’osservatore allora, per interpretare questo fatto, deve supporre che alla pallina sia applicata, oltre la forza di gravità, una forza orizzontale verso sinistra F=-ma.
Ricordando che il tempo di caduta è sempre t=𕔆h/g, da cui t=0,8s, la traiettoria descritta si può ricavare per punti.
E’ possibile anche ricavare l’equazione della traiettoria:
y=h-gt2/2
x=-at2/2, da cui t2=-2x/a
y=h-gx/a (equazione della traiettoria)
La pallina quindi, rispetto all’osservatore sul vagone, si muove di moto accelerato rettilineo dal vertice dell’asta al punto in cui tocca il pavimento.
