Problema 5.3.1
Una sfera di argento, di massa m=2000g, viene immersa in un recipiente contenente un litro di acqua. Il sistema è in equilibrio termico alla temperatura t=20°C.
Il tutto viene poi riscaldato, fornendo una quantità di calore Q=100Kcal.
Calcolare il volume finale della sfera.
[Per l’argento: coefficiente di dilatazione lineare λ=1,88.10-5 °C-1; calore specifico c=0,056cal/g°C; densità ρ=10,50g/cm3]
Capacità termica della sfera:
KAg=cAgmAg=112cal/°C
Capacità termica dell’acqua:
KH2O=cmH2O=1000cal/°C
Q=(KAg+KH2O)(t2-t1)
t2-t1=89,9°C
Poiché la temperatura iniziale dell’acqua è 20°C, una volta che si è raggiunta la temperatura di ebollizione la quantità di calore residua va nel cambiamento di stato da acqua a vapore di una porzione di questa. La temperatura finale raggiunta dal sistema è 100°C.
Alcuni studenti, nel risolvere questo problema, hanno affermato tranquillamente che la temperatura raggiunta dal sistema è t=89,9+20=119,9°C!
Questo è un esempio di come sia pericoloso applicare le formule in modo acritico.
Per calcolare il volume finale della sfera si può procedere applicando la formula approssimata:
Vf-Vi=3λVi(tf-ti)
Vi=m/ρ=190,5cm3
3λ=5,64.10-5°C-1
tf-ti=80°C
Vf=191,4cm3
Il calcolo più corretto è il seguente:
Vf=V0(1+3λtf)
Vi=V0(1+3λti)
Vf/Vi=(1+3λtf)/(1+3λti)
Vf=Vi(1+3λtf)/(1+3λti)
Vf=190,5.(1+0,00564)/(1+0,00113)=191,4cm3
I due risultati coincidono entro gli errori, da che si può dedurre che per variazioni di temperatura di questa entità e per coefficienti di dilatazione bassi questa approssimazione è sufficiente.
Quando la differenza di temperatura è elevata e il coefficiente di dilatazione è alto questa approssimazione non è più accettabile.