Problema 4.3.18
Sul piano orizzontale liscio di figura si trovano a distanza d due corpi puntiformi A e B rispettivamente di massa m e 3m.
Il corpo A è appoggiato alla estremità di una molla di costante k1, tenuta compressa da un filo di un tratto d/10. Si brucia il filo e B, urtato normalmente ed elasticamente da A, va a comprimere una seconda molla ideale di costante k2 (fig. 4.26).
Determinare:
a) l’istante t1 in cui avviene l’urto;
b) la compressione l della seconda molla.
L’energia potenziale della molla si trasforma in energia cinetica del corpo A.
(1/2)k1(d/10)2=(1/2)mv12
v1=(d/10)√k1/m
t1=s/v=9√m/k1
Il tempo impiegato dalla molla a distendersi è uguale a 1/4 del periodo dell’oscillazione che compirebbe A se rimanesse vincolato alla molla.
t0=2p √m/k1
t=t0+t1=15,3 √m/k1
Consideriamo ora l’urto elastico tra A e B per calcolare l’energia cinetica di B dopo l’urto, che verrà trasferita alla molla.
m1v1=m1v1’+3m1v2’
1/2m1v12=1/2m1(v1’)2+3/2m1v2’ 2
v1’=v1-3v2’
v1’ 2=v12+9v22-6v1v2’+3v2’ 2
Risolvendo il sistema, considerando v2’ diverso da 0, si ha
6v2’(2v2’–v1)=0
v2’=v1/2:
(3/2)m1v2’ 2=(1/2)k2l2
da cui l=v2’ √3m/k2=(d/20)√3k1/k2