Problema 3.3.7

Affrontiamo il problema utilizzando la legge fondamentale della dinamica. Le forze in gioco sono rappresentate in figura:

P=mg è la forza peso della sfera, diretta verticalmente verso il basso e applicata nel baricentro,

R è la reazione del piano inclinato sulla sfera,

F_a è la forza di attrito diretta lungo il piano inclinato e applicata nel punto di contatto.

Il moto traslatorio viene determinato assumendo tutte le forze esterne applicate al baricentro. Applicando il secondo principio della dinamica si ha:

R+mgcosα=0 nella direzione perpendicolare al piano inclinato,

mgsenα-F_a=ma (1) nella direzione parallela al piano inclinato.

Il moto di rotazione intorno al baricentro si ottiene da

M_R=I_bγ (2).

I momenti di P e di R rispetto al baricentro sono nulli, perché le loro rette di azione passano per il baricentro quindi la (2) si riduce a F_aR=I_bγ.

Ricordando che I_b=2mR²/5 e γ=Δω/Δt=Δv/RΔt =a/Rsi ottiene

F_a=I_bγ /R=2mR²a/5R²=2ma/5 (3)

Dalla (1) mgsenα-2ma/5=ma

semplificando gsenα=a+2a/5=7a/5

da cui a=5gsenα/7.

a è costante e il moto è naturalmente accelerato, la sfera parte dalla quiete

v²=2al

con h=lsenα e v²=5gsenα/7^.2h/senα=10gh/7 che coincide con il risultato ricavato nel Problema 3.3.6, applicando il Principio di conservazione dell’energia.

Applicando il principio della conservazione dell’energia la soluzione è più veloce, tuttavia se si vuol conoscere il complesso delle forze in gioco conviene impiegare quest’ultimo metodo.

h=7v²/10g=1,75m.
t=l/v_m dove v_m, velocità media nel moto naturalmente accelerato, si ottiene da v/2.

t=2h/vsenα

t=2^.1,75/5^.0,5=1,4s.
Riprendendo la (3):

F_a=2ma/5 con a=v/t da cui F_a=2mv/5t:

F_a=2^.0,8^.5/(5^.1,4)=1,14N
La minima forza necessaria per far rotolare il cilindro si ricava dalla (3) F_a=2ma/5 dove a=5gsenα/7

F_a=(2m/5)^.(5gsenα/7)=2mgsenα/7.