Problema 3.3.5

Se non ci fosse attrito il cilindro non rotolerebbe, ma scivolerebbe lungo il piano inclinato. In questo caso abbiamo visto che la velocità finale si ricava, applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica mgh=mv²/2 si ha v=√2gh.

E’ un risultato ormai “stranoto” che tale velocità dipende solo dalla differenza di quota h e non dalla massa dell’oggetto considerato.

Nel nostro caso invece il cilindro rotola, quindi c’è attrito fra cilindro e piano. Si tratta però di attrito volvente, con un coefficiente molto piccolo e abbiamo visto nel Problema 3.3.4 che la velocità finale non dipende dalla forza di attrito.

Possiamo così applicare, anche in questo caso, il principio di conservazione dell’energia meccanica mgh=Iω²/2.

Osserviamo che il cilindro ruota istante per istante intorno alla retta di contatto cilindro-piano, parallela all’asse e non, come si è portati a pensare, intorno al suo asse. Questo perché noi assumiamo un sistema di riferimento esterno, solidale con il terreno. Con il passare del tempo questa retta non si trova sempre allo stesso posto rispetto al cilindro e per questo prende il nome di asse istantaneo di rotazione.

Se ω è la velocità angolare del cilindro, la velocità con cui l’asse del cilindro (quindi l’intero cilindro) avanza è v=ωR, dove R è la distanza dell’asse di rotazione dall’asse del cilindro, cioè il raggio del cilindro.

ω²=2mgh/I

v=ωR=R√2mgh/I

dove I è il momento d’inerzia del cilindro, rispetto all’asse di rotazione.

Dal teorema di Huygens-Steiner si ricava I=I_B+mR² dove I_B è il momento d’inerzia del cilindro rispetto al suo asse passante per il baricentro I_B=mR²/2

I=mR²/2+mR²=3mR²/2 da cui

v=R√4mgh/3mR²

v=2√gh/3.

Il risultato è molto interessante, perché mette in evidenza che la velocità raggiunta non dipende né dalla massa né dal raggio del cilindro. Tutti i cilindri che partono contemporaneamente dalla stessa altezza arrivano contemporaneamente alla base del piano!

Nel caso dell’anello vale quanto abbiamo detto precedentemente per il cilindro, solo il momento d’inerzia I_B cambia.

I_B=mR²

I=mR²+mR²=2mR² da cui

v=R√2mgh/I=R√2mgh/2mR²

v=√gh.

Anche in questo caso la velocità non dipende né dalla massa, né dal raggio dell’anello, quindi tutti gli anelli che partono contemporaneamente dalla stessa altezza arrivano contemporaneamente alla fine del piano inclinato.

Viene anche confermato il risultato dell’esperienza descritta nella premessa : i dischi precedono gli anelli, perché sono più veloci!