Problema 3.3.4
Un cilindro di massa m e raggio R rotola lungo un piano inclinato sotto l’azione del peso.
Qual è la sua velocità dopo un tempo t?
Le forze che agiscono sul cilindro sono il peso P, la reazione del piano R, la forza di attrito FA.
Calcoliamo il momento risultante rispetto alla retta di contatto (asse istantaneo di rotazione). La reazione vincolare e la forza d’attrito hanno momento nullo, perchè applicate in O. Il momento risultante si riduce quindi al momento della forza peso.
MR=mgRsenα se α è l’angolo fra il piano inclinato e il piano orizzontale.
Dalla MR=Iγ (dove I è il momento d’inerzia del cilindro rispetto all’asse istantaneo di rotazione e γ l’accelerazione angolare) ricaviamo γ =MR/I.
Il momento di inerzia del cilindro rispetto all’asse istantaneo di rotazione (vedi problema 3.3.4) è
I=mR2/2+mR2=3mR2/2 da cui γ=mgRsenα/(3mR2/2)=2gsenα/3R.
Essendo il momento costante, anche l’accelerazione è costante e la velocità angolare è ω=γt, se supponiamo che per t=0 il cilindro sia in quiete.
La velocità dell’asse del cilindro dopo un tempo t è v=(2gtsenα)/3.
Anche in questo problema si mette in evidenza che tutti i cilindri che rotolano sul piano nello stesso istante si trovano affiancati (se partono dallo stesso punto)indipendentemente dalla loro massa e dal loro raggio.
Altro risultato interessante e che ci sarà utile in seguito ricordare:
La velocità del baricentro v, e di conseguenza anche quella di rotazione ω , non dipende dalla forza di attrito.