Problema 3.2.26
Prendiamo una semisfera di metallo che abbiamo lucidato con attenzione in modo da rendere trascurabili gli attriti. Sulla sommità della sfera appoggiamo un piccolo oggetto e con un piccolo colpo diamogli la possibilità di scivolare lungo la semisfera. Ad un certo istante si vede l’oggetto staccarsi dalla sfera e cadere. Come possiamo valutare a che punto si staccherà?
1a Soluzione
Osserviamo la figura.
L’oggetto, muovendosi sulla circonferenza è soggetto al peso P=mg, la cui componente lungo il raggio R è la forza che lo mantiene sulla sfera fino a quando è maggiore o uguale alla forza centripeta mv2/R. Basta quindi imporre questa uguaglianza per sapere quando l’oggetto lascerà la sfera. La componente tangente alla circonferenza gli imprime un’accelerazione tangenziale, responsabile del suo aumento di velocità man mano che scende dalla sfera.
Consideriamo i triangoli simili in figura mv2/R:mg=(R-h):R.
Se l’oggetto parte da fermo (v0=0) e non c’è attrito, nel dislivello h acquisterà una velocità v=√2gh (la velocità dipende solo dalla differenza di quota e non dalla strada percorsa (Problema 3.2.13).
mv2/mgR=(R-h)/R da cui 2gh=R-h e h=R/3.
L’oggetto lascerà la semisfera ad un’altezza inferiore dalla sommità di 1/3 del raggio.
2a Soluzione
Applichiamo il principio di conservazione dell’energia. La perdita di energia potenziale mgh, quando l’oggetto scende dalla sommità lungo la semisfera, è uguale all’energia cinetica acquistata mv2/2. Esprimiamo h in funzione dell’angolo ϑ
h=R-Rcosϑ =R(1-cosϑ )
mgh=mv2/2
v2=2gh=2gR(1-cosϑ ).
Come affermato nella precedente soluzione l’oggetto si staccherà nell’istante in cui la forza centripeta sarà uguale alla componente del peso lungo il raggio:
mv2/R=mgcosϑ
2gR(1-cosϑ )m/R=mgcosϑ da cui, semplificando, 2(1-cosϑ )=cosϑ .
L’oggetto si staccherà quando si troverà sulla semisfera nel punto in cui PC=R forma un angolo il cui coseno cos ϑ =2/3. Questa posizione corrisponde ad un angolo ϑ =48,2°.
Si fa osservare che il risultato non dipende né da m né da R.