Problema 3.2.25
Si abbia un tubo cilindrico, di raggio interno r=1,0cm, di lunghezza l=100cm e a pareti rigide.
Un cilindro retto omogeneo, indeformabile, della stessa lunghezza e di massa mc=0,600Kg può entrare di misura nel tubo e scorrere entro di esso. Fra tubo e cilindro esiste attrito e la forza di attrito è sempre proporzionale alla loro superficie di contatto con un coefficiente k=100N/m.
Calcolare il lavoro che occorre compiere per introdurre il cilindro nel tubo:
a) nel caso in cui il tubo sia orizzontale;
b) nel caso in cui il tubo sia verticale e il cilindro venga introdotto dall’alto;
c) nel caso in cui il tubo sia verticale e il cilindro venga introdotto dal basso.
Siamo in un caso in cui la forza di attrito non è costante, ma è proporzionale alla superficie di contatto: F=2π rxμ
Costruiamo il grafico di F in funzione della penetrazione (x).
Il lavoro è dato dall’area tratteggiata L=2πrxμ.x/2=μπrx2
Se il cilindro è orizzontale la sua energia potenziale rimane costante (Ep=0)
L=μπrl2=3,14J.
Il lavoro è minore perché c’è il contributo della forza peso.
L=μ π rl2-mgl=l(μ π rl-mg)=-2,74J (assumendo g=9,8m/s2).
Non è necessario lavoro esterno, anzi il cilindro esce dalla base del tubo con una Ec=2,74J.
Il lavoro è maggiore, perché occorre aumentare l’energia potenziale del cilindro di mgl.
L=l(μ π rl+mg)=9,02J
