Problema 3.2.23
Un corpo di massa m=0,5Kg è lanciato in una direzione formante con l’orizzontale un angolo di 30°, mediante un cannoncino a molla.
Se la costante elastica della molla è k=2000N/m e la molla inizialmente è compressa di 10cm, calcolare l’altezza a cui arriva il corpo.
Per il teorema delle forze vive si ha:
L=mv2/2 essendo inizialmente il corpo in quiete.
L è il lavoro compiuto dalla molla.
Si nota che in questo caso la forza F non è costante: come si calcola il lavoro?
Supponiamo che la molla sia perfettamente elastica, per cui F=kx (vedi 2.1 Primo problema: Roberto e l’equilibrio). Costruiamo il grafico di F in funzione di x. Possiamo ottenere il lavoro dal grafico, calcolando l’area tratteggiata, in analogia a quanto visto in 1.4 Il terzo problema di Roberto) nel calcolo dello spazio, con una velocità v=at.
L=kx2/2
Se supponiamo trascurabili gli attriti kx2/2=mv2/2 mi dà l’energia cinetica del corpo quando viene lanciato.
Nel punto di massima altezza l’energia del corpo è data da mgh+mvx2/2, poiché la componente vy=0.
mgh=L-mvx2/2=mvy2/2 (1)
(Abbiamo scomposto la velocità v iniziale, che ha la direzione inclinata di 30° rispetto all’orizzontale, nelle sue componenti vx=vcos30° e vy=vsen30° e ricordiamo che v2=vx2+vy2)
v2=kx2/m
vy2=kx2sen230°/m
Dalla (1) si ricava h=v0y2/2g=kx2sen230°/2mg
x=10cm.
h=0,50m.
