Problema 3.1.23
Un’asta orizzontale è soggetta a ruotare attorno ad un asse verticale. Si infila in questa una molla di massa trascurabile, di lunghezza l0 a riposo e di costante elastica k, di cui un’estremità è saldata all’asse, l’altra estremità è agganciata ad un solido di dimensione trascurabile che può scivolare senza attrito lungo l’asta (vedi fig.3.7).
Quando l’asta ruota a velocità angolare costante ω, il solido si blocca sull’asta.
Calcolare la lunghezza finale l1 della molla quando si raggiunge questo equilibrio dinamico.
Il solido è soggetto a tre forze: il suo peso P=mg, la reazione dell’asta R (normale all’asta) e la forza elastica di richiamo F esercitata dalla molla.
Se ω è costante il solido si muove di moto circolare uniforme e descrive una circonferenza di raggio l1.
Applicando il II principio della dinamica si ottiene: P+R+F=ma.
P ed R si fanno equilibrio, quindi F=ma, dove a=ω2l1 è l’accelerazione centripeta del moto circolare uniforme.
La forza elastica F esercitata dalla molla è data da F=-k(l1-l0) (vedi Cap.2.1 Primo problema: Roberto e l’equilibrio).
Si ha mω2l1=k(l1-l0) da cui l1=kl0/(k-mω2).
Si ha equilibrio dinamico quando k>mω2.