Problema 1.7.5

Una particella vibra con frequenza 100\text{ Hz} e ampiezza 3{,}0\text{ mm}.
a) Calcolarne la velocità e l’accelerazione nel punto medio e agli estremi della traiettoria.
b) Scrivere l’equazione x(t), supponendo nulla la fase iniziale.
c) Scrivere l’equazione s(t) nel caso in cui nell’istante t=0{,}5\times10^{-2}\text{ s}   sia:   x=0.

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Vedi cap.1.7 – moto armonico semplice.

Supponiamo che il moto sia armonico semplice, con R=0{,}0030\text{ m}. Poniamo l’origine dell’asse delle x nel centro del moto.

a)La velocità al centro della traiettoria è massima e vale \omega R=2\pi fR=1{,}88\text{ m/s}; agli estremi della traiettoria la velocità è nulla.
L’accelerazione al centro della traiettoria è nulla; è massima agli estremi, ha modulo |a|=(2\pi f)^2\,R=1184\text{ m/s}^2 e segno opposto a quello dello spostamento.

b) Supponiamo che, nell’istante iniziale, la particella si trovi nella posizione x=0. In questa ipotesi, l’equazione del moto è x=R\sin(2\pi f)\,t, con  R=3{,}0\times10^{-3}\text{ m}  e  f=100\text{ Hz}.

c) Consideriamo l’equazione generale x=R\sin(2\pi ft+\varphi_0). Le condizioni indicate portano a porre  \sin(2\pi ft+\varphi_0)=0, da cui:
2\pi ft+\varphi_0=k\pi, con k=0,1,2\ldots.
Scegliendo k=0 e sostituendo i valori di f e di t, si ricava  \varphi_0=-\pi\text{ rad}.
In definitiva, l’equazione cercata è:
x=R\sin(2\pi ft+\varphi_0),  con  R=3{,}0\times10^{-3}\text{ m},  f=100\text{ Hz}  e  \varphi_0=-\pi\text{ rad}.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.7 - Moti oscillatori

Problema di difficoltà: Media