Problema 1.7.17

Un oggetto puntiforme è soggetto contemporaneamente a due moti armonici semplici che hanno lo stesso centro di oscillazione e direzioni perpendicolari.
Le equazioni del moto sono date da:

    \[\begin{cases} x=R_1\sin(\omega_1t+\varphi_{01})\\ y=R_2\sin(\omega_2t+\varphi_{02}) \end{cases}\]

dove valgono le condizioni:
R_1=R_2=R,
\omega_1=\omega_2=\omega,
\varphi_{01}=0,
\varphi_{02}=\pi/2.

Studiare il moto risultante.

Guarda la soluzione

Con le condizioni date, il problema si riconduce allo studio di:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x=R\sin(\omega t)\\ y=R\cos(\omega t) \end{cases} \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato la relazione \sin(\omega t+\pi/2)=\cos(\omega t) (vedi Problema 1.7.16).

Per ricavare l’equazione della traiettoria, occorre esprimere y in funzione di x (vedi cap.1.6 – moto parabolico), eliminando il tempo dalle due equazioni.
Per questo eleviamo al quadrato e sommiamo, ottenendo:

(2)   \begin{equation*} x^2+y^2=R^2(\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)=R^2 \end{equation*}

che è l’equazione di una circonferenza di raggio R (si veda il Quarto problema di Roberto).

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L’oggetto si muove di moto circolare uniforme con velocità angolare \omega, su una circonferenza di raggio R il cui centro coincide con il centro di oscillazione dei due moti armonici semplici.
Il moto circolare uniforme può quindi essere considerato come risultante di due moti armonici semplici, con la stessa ampiezza e pulsazione e sfasati di \pi/2.
Analogamente, un moto circolare uniforme si può scomporre in due moti armonici semplici, ottenuti analizzando le proiezioni del punto P su due diametri fra loro perpendicolari.

E se fosse R_1\neq R_2?   E se lo sfasamento fra i due moti non fosse di \pi/2?
Ogni cosa a suo tempo!

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.7 - Moti oscillatori

Problema di difficoltà: Media