Problema 1.7.16

Un punto materiale P si muove di moto armonico semplice, di ampiezza R e pulsazione \omega=\pi/4\text{ rad/s};  la posizione occupata all’istante t=0  è  x_0=R.
Determinare l’equazione del moto, sapendo che la velocità massima ha valore v_\text{max}=3{,}0\text{ cm/s}.

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Poiché v_\text{max}=\omega R, si ha:
\displaystyle R=\frac{v_\text{max}}{\omega}=\frac{3{,}0\cdot4}{\pi}\text{ cm}=3{,}8\text{ cm}.

Consideriamo ora l’equazione del moto x=R\sin(\omega t+\varphi_0) e la condizione iniziale data. Otteniamo:
R=R\sin(\varphi_0)\quad\Rightarrow\quad\sin(\varphi_0)=1\quad\Rightarrow\quad\varphi_0=\pi/2\pm2k\pi   (con k=0,1,2,\ldots).
In questo caso, senza perdere di generalità, possiamo assumere k=0, fissando \varphi_0=\pi/2.

Con ciò l’equazione del moto è completamente determinata.

Se si tien conto della relazione \sin(\alpha+\pi/2)=\cos(\alpha), l’equazione del moto può essere scritta nella forma:

    \[x=R\cos(\omega t)\]

che rappresenta un andamento “sfasato di \pi/2” rispetto a quello descritto dalla legge x=R\sin(\omega t).
In generale, l’equazione del moto armonico può essere scritta nella forma: x=R\cos(\omega t+\varphi_0); nel caso in cui sia \varphi_0=0, questo equivale ad assumere come posizione iniziale non il centro di oscillazione, ma un estremo del moto.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.7 - Moti oscillatori

Problema di difficoltà: Media