Problema 1.7.15

Un oscillatore si muove di moto armonico semplice x=R\sin(\omega t+\varphi_0), con pulsazione \omega=(\pi/12)\text{ rad/s}  e ampiezza R=10\text{ cm}.
Calcolare:
a) l’elongazione iniziale x_0, sapendo che per t=t_1=2{,}0\text{ s}, si ha x=R/2 e v<0;
b) per quale valore di t l’oscillatore passa per la prima volta dal centro di oscillazione.

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Vedi cap.1.7

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a) Dai dati del problema, posto \phi=\omega t_1+\varphi_0, si ottiene:
R/2=R\sin(\phi)
\sin(\phi)=1/2
\displaystyle \phi=\begin{cases}\pi/6\pm2k\pi\\\qquad\qquad\qquad \text{con }k=0,1,2,\ldots\\5\pi/6\pm2k\pi\end{cases}

Inoltre deve essere:
v_1=\omega R\cos(\phi)<0
\cos(\phi)<0
\pi/2\pm2k\pi<\phi<3\pi/2\pm2k\pi (con k=0,1,2,\ldots).

Se ne deduce che \phi=5\pi/6\pm2k\pi e, tenuto conto dei valori di \omega e di t_1, si calcola:
\varphi_0=2\pi/3\pm2k\pi.

A questo punto, possiamo ricavare:
x_0=R\cdot\sin(\varphi_0)=(10\cdot\sqrt{3}/2)\text{ cm}=8{,}7\text{ cm}

b) Il passaggio per il centro di oscillazione corrisponde alla condizione x=0, da cui si deduce:
\sin(\omega t+\varphi_0)=0
\omega t+\varphi_0=\pm k\pi  (con k=0,1,2,\ldots).
Sostituendo i valori di \omega e di \varphi_0 e semplificando, si ricava, in definitiva:
\displaystyle t=(\pm12k-8)\text{ s}.
Questo non è un valore, ma un insieme di valori e dobbiamo decidere quale sia quello corrispondente al primo passaggio per la posizione centrale.
Ricordando che, quando abbiamo trovato la posizione iniziale, abbiamo assunto che fosse t_0=0, dobbiamo ammettere che il primo passaggio dal centro del moto avvenga in un istante t\geqslant0.
Questo ci porta a individuare il più piccolo valore positivo dell’insieme, t=4{,}0\text{ s}, che si ottiene per k=1.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.7 - Moti oscillatori

Problema di difficoltà: Alta