Problema 1.6.2

Un proiettile viene lanciato da terra con una velocità v_0=20\text{ m/s} e in una direzione formante con l’orizzontale un angolo \alpha=60^\circ.
a) A quale altezza arriva?
b) A che distanza dal punto di lancio tocca terra?

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a) Consideriamo le componenti orizzontale, v_{0x}, e verticale, v_{0y}, del vettore velocità \vec{v}_0.
Essendo \alpha=60^\circ, possiamo determinare facilmente le due componenti che misurano, rispettivamente, v_{0x}=\frac{1}{2}v_0 e v_{0y}=\frac{\sqrt{3}}{2}v_0 (si veda la figura qui sopra).

Se si può considerare trascurabile la resistenza dell’aria, la massima altezza, h, raggiunta dal proiettile dipende soltanto dalla componente verticale della velocità di lancio, secondo la relazione: v_{0y}^2=2gh (si veda quanto ricavato nel problema 1.4.14).
Si calcola, quindi:
\displaystyle h=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{3}{8}\frac{v_0^2}{g}=\left(\frac{3}{8}\cdot\frac{20^2}{9{,}8}\right)\text{ m}=15{,}3\text{ m}.

b) Il volo del proiettile impiega tempi uguali nella salita e nella discesa e, quindi, il tempo di volo è il doppio del tempo di salita (si veda ancora, per questo, il problema 1.4.14 già citato). Questo tempo di salita si calcola come:
\displaystyle t_1=\frac{v_{0y}}{g}
e, quindi, il tempo di volo del proiettile è:
\displaystyle t=2t_1=\frac{2v_{0y}}{g}.
La distanza d dal punto di lancio alla quale il proiettile tocca terra (cioè la gittata del tiro), si ottiene moltiplicando la velocità di moto in direzione orizzontale, v_{0x}, per il tempo t:
\displaystyle d=v_{0x}t=\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g}=2\cdot\frac{v_0}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}\,v_0}{2g}=\frac{\sqrt{3}\cdot20^2}{2\cdot9{,}8}\text{ m}=35{,}3\text{ m}.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.6 - Moto parabolico

Problema di difficoltà: Bassa