Problema 1.5.4

Due oggetti puntiformi si muovono in senso opposto su una circonferenza di raggio R=2{,}0\text{ cm} e, a un dato istante, si trovano nel medesimo punto A.
Ambedue hanno moto uniforme: il primo con velocità angolare \omega_1=(-\pi/9)\text{ rad/s} e il secondo con velocità angolare \omega_2=(5\pi/36)\text{ rad/s}.
a) A che distanza angolare si trovano dopo t=6{,}0\text{ s} dal passaggio per A?
b) Qual è la lunghezza dell’arco di circonferenza che separa i due oggetti in quell’istante?

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a) Sia t=0 l’istante in cui i due oggetti si trovano in A. Per comodità, poniamo A sull’asse delle ascisse di un riferimento cartesiano con origine nel centro della circonferenza, così che sia x_\text{A}=R.
L’arco descritto dal primo oggetto nell’intervallo di tempo t=6,0\text{ s} corrisponde ad un angolo al centro \alpha_1=\omega_1t=-2\pi/3.
Nello stesso tempo, per il secondo oggetto è \alpha_2=\omega_2t=5\pi/6.
La distanza angolare è quindi \Delta \alpha=\alpha_2-\alpha_1=3\pi/2. Ciò significa che i due oggetti sono separati da un angolo \theta = 3\pi/2-2\pi=-\pi/2 (per portarsi nella posizione del secondo, il primo oggetto dovrebbe ruotare di un quarto di giro, in verso orario).

b) All’angolo \theta corrisponde un arco di lunghezza l=\left|\theta\cdot R\right|=3{,}14\text{ m}.

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La velocità angolare è una grandezza vettoriale: con la lettera \omega abbiamo indicato l’intensità del vettore, la direzione coincide con l’asse di rotazione e il verso individua il senso di rotazione (orario o antiorario).
Per convenzione si applica la regola della mano destra. In questo caso \vec{\omega}_1 e \vec{\omega}_2 hanno la stessa direzione, ma il primo vettore ha verso “entrante” nel foglio (senso di rotazione orario, \omega_1<0) mentre il secondo (senso antiorario, \omega_2>0) ha verso “uscente”.

Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.5 - Moto circolare uniforme

Problema di difficoltà: Media