Problema 1.4.19

Due automobili partono da ferme, contemporaneamente, da due punti A e B che si trovano sulle due corsie opposte di un rettilineo, alla distanza reciproca di 500\text{ m}.
La prima auto viaggia in direzione di B con un’accelerazione costante a_1=2{,}0\text{ m/s}^2 e la seconda viaggia verso A con un’accelerazione costante a_2=-1{,}0\text{ m/s}^2.
a) A che distanza da A e dopo quanto tempo dalla partenza si incrociano le due auto?
b) Quali sono le loro rispettive velocità medie sull’intero percorso AB?
c) Quanto distano tra di loro le due automobili dopo 5{,}0\text{ s} dalla partenza?

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Vedi problema 1.4.17

a) Per t=0 si ha:   v_1=v_2=0, s_{01}=0, s_{02}=500\text{ m}.
Quando le due auto si incontrano, si trovano contemporaneamente nello stesso punto: s_1=s_2. Poniamo quindi:
s_1=\frac{1}{2}a_1t^2=s_2=\frac{1}{2}a_2t^2+s_{02}.
Risolvendo per t e considerando la sola radice positiva, si ha:
\displaystyle t=\sqrt{\frac{2s_{02}}{a_1-a_2}}=\sqrt{\frac{2\cdot500}{2{,}0+1{,}0}}\text{ s}=18{,}3\text{ s}.
La distanza percorsa in questo tempo da A è:
\displaystyle s_1=\frac{1}{2}a_1t^2=\frac{a_1s_{02}}{a_1-a_2}=\frac{2{,}0\cdot500}{2{,}0+1{,}0}\text{ m}=333\text{ m}.
(Si noti che non abbiamo calcolato il quadrato di 18{,}3\text{ s} — il valore arrotondato di t scritto sopra — che avrebbe portato a un risultato erroneo di 335\text{ m})

b) Poiché ciascuna auto si muove di moto naturalmente accelerato, per esse il modulo della velocità al termine del percorso è dato da \left|\vec{v}\right|=\sqrt{2a\cdot\Delta s}, dove \Delta s rappresenta la distanza percorsa (scritta con l’opportuno segno) — così come abbiamo ricavato risolvendo il problema 1.4.9.
Ricordiamo poi che nel moto uniformemente accelerato si può calcolare la velocità media tramite l’espressione v_\text{m}=(v_\text{f}+v_0)/2.
Per le nostre auto vale allora la relazione \displaystyle v_\text{m}=\frac{v_\text{f}+0}{2}=\frac{v_\text{f}}{2}=\frac{\pm\sqrt{2a\cdot\Delta s}}{2}=\pm\sqrt{\frac{a\cdot\Delta s}{2}}; il segno da usare (+ o —) è lo stesso di a e di \Delta s.
Ciò detto, possiamo calcolare le due velocità medie:

\displaystyle v_{1\text{m}}=\sqrt{\frac{a_1\cdot\Delta s_1}{2}}=\sqrt{\frac{2{,}0\cdot500}{2}}\text{ m/s}=22{,}4\text{ m/s}

\displaystyle v_{2\text{m}}=-\sqrt{\frac{a_2\cdot\Delta s_2}{2}}=-\sqrt{\frac{-1{,}0\cdot(-500)}{2}}\text{ m/s}=-15{,}8\text{ m/s}

c) Dopo un tempo t=5{,}0\text{ s} la posizione delle due automobili è:
s_1=\frac{1}{2}a_1t^2=\left(\frac{1}{2}\cdot2{,}0\cdot25\right)\text{ m}=25\text{ m},
s_2=\frac{1}{2}a_2t^2+s_{02}=\left(-\frac{1}{2}\cdot1{,}0\cdot25+500\right)\text{ m}=487{,}5\text{ m}.
Quindi la loro distanza è: s_2-s_1=(500-487{,}5)\text{ m}\approx463\text{ m}.

Il problema (a) può essere risolto direttamente per via grafica, disegnando i diagrammi s(t) del moto delle due automobili. La costruzione del grafico risulta un po’ laboriosa, perchè si tratta di disegnare due parabole. Può essere più semplice rappresentare s_1(t^2) e s_2(t^2), metodo frequentemente usato in laboratorio per l’elaborazione dei dati nello studio dei moti.
I rispettivi grafici sono riportati nel seguito. La precisione dei risultati dipende da come sono costruite le scale.

Rendered by QuickLaTeX.com

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Problema del Capitolo 1 - Il moto ▷ Sezione 1.4 - Analisi di moti rettilinei uniformemente accelerati

Problema di difficoltà: Media