Problema 14.2.2
(Extracorrente di chiusura e di apertura di un circuito)
In un circuito di resistenza R=10Ω e induttanza L=1,0H è inserito un generatore di f.e.m. costante fp=25V (fig.14.8).
a) Calcolare il valore dell’intensità di corrente dopo un tempo t=0,2s dalla sua chiusura.
b) Calcolare il valore dell’intensità di corrente di regime.
c) Si interrompe il circuito. Calcolare dopo quanto tempo l’intensità di corrente si riduce al 20% di quella di regime.
Vedi Cap. 14.1 Premessa.
a) Applichiamo la legge di Ohm, considerando, oltre la f.e.m. fp, la f.e.m. indotta f=-Ldi/dt.
fp-Ldi/dt=Ri (1)
È una semplice equazione differenziale, che si risolve separando le variabili.
Se si sceglie come origine dei tempi l’istante in cui si chiude il circuito, la condizione iniziale è i(0)=0.
In questa ipotesi la soluzione è data da: i(t)=fp/R(1-e-t/τ ), avendo posto τ =L/R (costante di tempo del circuito).
i=(fp/R) (1-e-Rt/L)
i=25/10(1-e-10.0,2)=2,162A
b) Quando la corrente è a regime non si hanno fenomeni di autoinduzione:
i=fp/R
c) Quando il circuito si apre fp=0
Ldi/dt=Ri
da cui:
di/i=R/Ldt
che risolta dà:
i(t)=fpe-Rt/L/R (per t=0 , i=fp/R)
i=20fp/100R
i=20fp/100R=fpe-Rt/L/R
0,2=e-Rt/L
da cui:
t=R/Lln5=2,3lg5/10=1,61s
Bilancio energetico
Moltiplichiamo la (1) per idt.
fpidt=i2Rdt+Lidt
Il primo membro rappresenta l’energia fornita dal generatore fra gli istanti t e t+dt. Nel secondo membro il primo termine rappresenta l’energia che per effetto Joule si trasforma in calore, il secondo termine rappresenta l’energia spesa per aumentare di di l’intensità di corrente.
Quando la corrente passa dal valore i=0 a i , il lavoro speso Li2/2 si trasforma in energia immagazzinata nel campo magnetico creato dalla corrente, dove rimane fino a che la corrente si mantiene costante. Se poi la corrente si annulla questa energia viene integralmente restituita e il campo magnetico scompare.