Problema 11.12.1
E’ possibile prevedere le leggi di Ohm, che sono state ricavate sperimentalmente, utilizzando la teoria elettronica?
Consideriamo un conduttore di sezione S e di lunghezza l, ai capi del quale sia mantenuta una d.d.p.V (figura). Sia n il numero di elettroni di conduzioni contenuti in un volume unitario.
Gli elettroni di conduzione sono sottoposti al campo uniforme di intensità E=V/l (vedi Problema 11.9.4) e fluiranno così attraverso la sezione S.
Gli elettroni che attraversano la sezione S nel tempo t sono tutti quelli che si trovano nel cilindro di sezione S e altezza vt, dove v è la velocità di regime degli elettroni.
Gli elettroni sono soggetti alla forza elettrica F=eE e incontrano una resistenza nel loro moto che possiamo supporre proporzionale alla velocità (vedi Cap.3.4). Si raggiungerà la velocità di regime quando la forza resistente farà equilibrio alla forza elettrica: eE=σ
v, dove con σ
abbiamo indicato una costante caratteristica del materiale.
i=Q/t =neSvt/t ma v=eE/σ
e ricordando che E=V/l si ottiene:
i=neSV/σ
l
Si ricava così la Ia legge di Ohm: i ∝
V.
Ponendo la costante di proporzionalità uguale a R si ottiene la IIa legge di Ohm.
R=σ
l/neS
σ
/ne è una costante, che indichiamo con ρ
, dipendente dal materiale
R=ρ
l/S
Con il variare della temperatura varierà la resistenza al moto degli elettroni di conduzione e quindi si può prevedere la dipendenza di ρ
dalla temperatura.